上海安世亞太結構高級應用工程師

(資料圖片)

陳科夫

1.引言

工程結構中有很多構件可以看作桿件，即一個方向的尺寸遠大于另外兩個方向的尺寸。此類構件受壓時即為壓桿。對于大柔度桿，通常臨界壓應力小于彈性極限，即發(fā)生彈性失穩(wěn)。

通常，我們會利用有限元法進行壓桿的特征值屈曲分析。壓桿的特征值屈曲分析屬于線性分析。特征值屈曲分析得到的是屈曲載荷和相應的失穩(wěn)模態(tài)，分析簡單，計算速度快，在實際工程中應用大。

PERA SIM Mechanical是安世亞太自主開發(fā)的一款機械仿真分析軟件，基于PERA SIM通用仿真軟件架構，可以實現(xiàn)與流體、電磁、聲學等物理場的耦合分析計算。PERA SIM Mechanical求解器可以完成如下分析功能：結構靜力學分析、模態(tài)分析、瞬態(tài)動力學分析、諧響應分析、反應譜分析、屈曲分析、隨機振動分析、熱分析(穩(wěn)態(tài)+瞬態(tài))以及并行計算。

本文借助結構有限元軟件中的屈曲分析模塊完成了壓桿特征值屈曲分析，展現(xiàn)了軟件豐富的操作功能，并且與國際成熟軟件的計算結果對比，驗證了計算的準確性，為學者和工程師提供了特征值屈曲分析的一種新方法。

2.特征值屈曲分析方法簡介

2.1 壓桿失穩(wěn)現(xiàn)象

讓我們回憶一下幾類關于平衡的概念：穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡以及條件穩(wěn)定平衡。

穩(wěn)定平衡：凡能在被移動離開它的平衡位置后，仍試圖恢復其原來位置，從而恢復到原來的平衡狀態(tài)的物體，它原來的平衡狀態(tài)叫“穩(wěn)定平衡”。

不穩(wěn)定平衡：處于平衡狀態(tài)的物體，由于受到某種外界微小的作用，如果物體稍有偏離就不能恢復到原來的平衡狀態(tài)，這種情況叫“不穩(wěn)定平衡”。

條件穩(wěn)定平衡：在一定條件下，可以實現(xiàn)穩(wěn)定平衡；否則，則處于不穩(wěn)定平衡。

構件的穩(wěn)定性是指構件在外力作用下保持其原有平衡狀態(tài)的能力。平衡形式的突然變化稱為穩(wěn)定失效，簡稱失穩(wěn)或屈曲。因此，屈曲問題本質(zhì)上是平衡性問題。一般的，如拉桿或內(nèi)壓圓筒，呈現(xiàn)穩(wěn)定平衡；如壓桿或外壓圓筒，呈現(xiàn)條件平衡。

此處，特別討論受壓桿件的穩(wěn)定性問題。受壓應力作用的結構，當受到外界擾動時，隨著壓應力的增大，會突然喪失原有幾何形狀而失穩(wěn)。對應的壓應力為臨界壓應力，對應的載荷為臨界載荷。擾動是普遍存在的，如材料不均勻缺陷，成形制造幾何缺陷等。因此失穩(wěn)(又稱屈曲)對于受壓應力的構件而言是內(nèi)在的特性。為了防止屈曲失效，需確定結構的臨界載荷或臨界壓應力，使實際載荷或壓應力小于許用值。

當構件失穩(wěn)時，一種內(nèi)在的本質(zhì)是原本沿截面厚度均勻分布的壓應力，隨著變形的增大躍變?yōu)閺澢鷳Γ孛嬉蚩箯澞芰Σ粔蚨荒芫S持原有幾何形狀。

當結構的抗彎截面尺寸較小時，如細長的大柔度桿，薄壁圓筒等，失穩(wěn)時截面的壓應力往往低于材料的彈性極限，這種失穩(wěn)稱為彈性失穩(wěn)。但當結構的抗彎截面尺寸較大時如大柔度桿，壁厚較厚的圓筒，失穩(wěn)時截面的壓應力往往高于材料的彈性極限出現(xiàn)塑性變形，這種失穩(wěn)稱為彈塑性失穩(wěn)。

臨界載荷或臨界壓應力的大小首先與抗彎剛度有關，對于彈性失穩(wěn)，彈性模量越大，抗彎剛度越大，抗彈性失穩(wěn)能力越強。

2.2 特征值屈曲分析

特征值屈曲分析預測了理想彈性結構的理論屈曲強度。該方法與教科書中的彈性屈曲分析方法相一致。歐拉柱的特征值屈曲分析與經(jīng)典歐拉解相匹配。缺陷和非線性行為阻礙了大多數(shù)現(xiàn)實世界結構實現(xiàn)其理論彈性屈曲強度。因此，特征值屈曲通常產(chǎn)生非保守結果，因為它沒有考慮到這些影響。

雖然特征值屈曲分析是非保守的，但與非線性屈曲解決方案相比，它具有計算成本低的優(yōu)點，并且可以提供近似的(盡管是非保守的)屈曲條件預測。下圖為屈曲的加載曲線(線性和非線性)。

圖1 屈曲加載曲線(線性和非線性)

在特征值屈曲分析中，求解以下特征值問題，得到屈曲載荷乘子λi和屈曲模態(tài)ψi。在該解中，假設[K]和[S]矩陣為常數(shù)，即解是線性的。

其中，{ψi}為特征向量—屈曲模態(tài)；[S]為預應力剛度矩陣；λi為載荷乘子；[K]為結構剛度矩陣。

注意事項：

1）需要施加載荷，進行預應力計算，得到預應力剛度矩陣。

2）求矩陣的特征值，獲取使行列式值為零的載荷乘子，即可得到臨界載荷。

2.3 壓桿穩(wěn)定理論解

對于大柔度壓桿，通常臨界壓應力小于彈性極限，發(fā)生彈性失穩(wěn)。屈曲載荷可用歐拉公式求解。

，

μ—支撐系數(shù)，兩端簡支時取1.0；兩端固支時取0.5；一端固支一端簡支時取0.707。

3.壓桿特征值屈曲分析案例

3.1 問題描述

圖2為固定管板式換熱器，換熱管管束與殼程筒體均與兩端管板固定式連接。由于管程與殼程介質(zhì)溫度不同，換熱管束與殼程筒體自由熱變形不同，變形協(xié)調(diào)使自由熱膨脹量大的受壓，自由熱膨脹量小的受拉。當管程溫度高、殼程溫度低時，換熱管軸向受壓，殼程筒體軸向受拉。對于換熱管而言，與管板連接位置可以認為是固支、與折流板接觸位置可以認為是簡支。

換熱管尺寸為Φ25×2.5, a=800 mm，b=850 mm，c=500 mm，材料為S30408，彈性模量為2×105MPa，泊松比為0.3，求不同位置換熱管的臨界壓應力。

圖2 換熱器結構圖

該受力問題可以簡化為如下有限元分析模型：

1）采用梁單元。

2）固定端，約束所有自由度；簡支約束垂直軸線的位移以及繞軸線的轉(zhuǎn)動。

3）兩端均簡支時一端約束軸向位移。

4）非軸向位移約束端施加軸向應力1 MPa的的集中力。(Fy=Π(Do²-Di²)/4)

下文通過PERA SIM Mechanical的屈曲分析模塊完成壓桿特征值屈曲分析，并將結果與某國際標準商業(yè)有限元軟件進行對比。(以a=800mm為例)

3.2 PERA SIM結構有限元模塊

打開PERA SIM Space工作臺，進入軟件啟動界面。模型類型支持結構、電磁、聲學等三大物理場，選擇結構特征值屈曲分析，并創(chuàng)建新的模型。

圖3 啟動界面

3.3 壓桿幾何模型建立

PERA SIM提供了豐富的幾何建模功能，可以完成線體、面體以及實體的幾何建模。通過草圖編輯、幾何編輯等操作，可迅速完成壓桿(線體)的建模。

圖4 壓桿幾何模型

3.4 網(wǎng)格剖分

PERA SIM提供了豐富的網(wǎng)格剖分功能，對于壓桿模型，通過控制網(wǎng)格尺寸(25mm)，即可完成線體網(wǎng)格劃分，即生成梁單元。

3.5 材料創(chuàng)建

從材料庫中選擇結構鋼材料，線彈性材料參數(shù)如下，楊氏模量：2E5，泊松比：0.3。完成材料創(chuàng)建。(圖5)

圖5 創(chuàng)建材料

3.6 截面定義

依次點擊菜單欄>屬性>創(chuàng)建截面，彈出對話框，類別選擇梁，單元行為選擇歐拉梁，接著點擊輪廓右側按鈕，彈出橫截面設置界面，設置形狀：空心圓心，接著輸入r=12.5mm，t=2mm，點擊確定，完成橫截面的創(chuàng)建。

圖6 創(chuàng)建截面

3.7 屬性賦值

屬性賦值模塊的功能是將所定義的材料及截面賦給特定的體。

圖7 屬性賦值

3.8 邊界定義

設置線體兩端節(jié)點為不同的邊界條件。左側節(jié)點，設置固定約束。右側節(jié)點，設置平移/旋轉(zhuǎn)uy= uz = 0。

圖8 邊界條件添加

3.9 載荷定義

定義載荷為集中力，選擇右側節(jié)點，設置FY=-144.5N，完成載荷的設置。

圖9 載荷添加

3.10 計算結果分析

提交計算后，得到屈曲載荷乘子(1階)415.751。屈曲模態(tài)(1階)見圖10。

圖10 屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)(PERA SIM結果)

圖11為通過某國際標準商業(yè)有限元軟件計算得到的屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)，屈曲載荷乘子(1階)415.448。這與PERA SIM計算結果非常接近。

圖11 屈曲載荷乘子及屈曲模態(tài)(1階)(標準商業(yè)軟件結果)

3.11 不同壓桿長度下的計算結果

考慮壓桿長度L = 800、850、500mm下有限元特征值屈曲分析結果(包含PERA SIM、標準商業(yè)軟件以及理論解)見表1。

表1 屈曲載荷乘子結果

由上面結果可知，PERA SIM計算結果與某國際標準商業(yè)有限元軟件結果對標，屈曲載荷乘子誤差普遍較小(1.5%以內(nèi))。因此，PERA SIM的計算可靠性可以保證。

4.結論

本文基于安世亞太自主結構有限元軟件PERA SIM Mechanical屈曲分析模塊計算壓桿特征值屈曲，實現(xiàn)了幾何建模、網(wǎng)格劃分、材料賦予、載荷及邊界條件設置、特征值求解到結果后處理的完整分析流程。同時，在相同的邊界和求解參數(shù)的條件下，與某國際標準商業(yè)有限元軟件計算結果對比，發(fā)現(xiàn)PERA SIM的臨界載荷的誤差普遍較小(1.5%以內(nèi))，能保證較高的計算精度。

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